Matriisit rakennetekniikassa

Silta, jossa on 15 lohkoa jousilla toisiinsa kytkettynä. Aina kun jotain muuttuu, sivu muodostaa jäykkyysmatriisin K ja ratkaisee yhtälön K·u = f lohkojen siirtymille.

Klikkaa vapaata lohkoa lisätäksesi sille painon (+1 t) · oikea klikkaus tai Shift+klikkaus poistaa yhden · vie hiiri (tai napauta) lohkon päälle nähdäksesi sen voimat.
paino (lohkon oma paino ja lisäpainot) jousten voimat valittuun lohkoon jousen väri = kuinka rasittunut se on

Säädöt

Jokaisella lohkolla on massa 50 kg, joten painovoima taivuttaa siltaa jo ilman lisäpainoja (g = 9,81 m/s²). Yksi klikkaus lisää 1000 kg:n painon.

Lohkon voimat

Lineaarinen yhtälöryhmä K · u = f

Jokainen rivi on yhden vapaan lohkon voimatasapaino. K:n sarakkeet vastaavat naapurilohkoja, joihin lohko on kytketty. Yllä valitsemaasi lohkoa vastaava rivi on korostettu.

Näin matriisi rakennetaan

  1. Jousivoimat. Vierekkäisten lohkojen välillä on jousi, jonka jäykkyys on k. Lohkojen a ja b välinen jousi vastustaa voimalla k·(ua − ub).
  2. Tasapainoyhtälöt. Jokaiseen lohkoon vaikuttavat voimat kumoavat toisensa. Nämä ovat painovoima (johon vaikuttaa lohkon oma massa ja lisäpainot), ja jousien muodostama jännitysvoima.
  3. Reunaehdot. Päätylohkot ovat kiinni (u1 = u15 = 0), joten niille ei tarvitse muodostaa yhtälöitä. Jäljelle jää 13 yhtälöä. Ilman tätä vaihetta K olisi singulaarinen, koska koko silta voisi liikkua vapaasti.
  4. Ratkaisu. Yhtälöryhmä K·u = f voidaan ratkaista esim. LU-hajotelmalla. Painojen muuttaminen muuttaa ainoastaan voimia f, ei jäykkyysmatriisia K.

Mallinnushuomio: siirtymät ovat vain pystysuuntaisia, ja jokainen jousi vastustaa kahden lohkonsa suhteellista pystysiirtymää (leikkausjousi). Tuloksena oleva matriisi on sama kuin kireällä langalla tai massaketjussa, ja se on yksinkertaisin esimerkki elementtimenetelmästä.